微积分（高等数学）趣味补充习题系列

第4题 (级数的比值)

计算

\frac{1 + \frac{π^{4}}{5!} + \frac{π^{8}}{9!} + \frac{π^{12}}{13!} + \dots}{\frac{1}{3!} + \frac{π^{4}}{7!} + \frac{π^{8}}{11!} + \frac{π^{12}}{15!} + \dots} . $ $ . * * 思 路 分 析 * * : 看 到 分 子, 分 母, 容 易 想 到 $ \sin x $ ， $ \cos x $ 的 泰 勒 级 数, 因 此, 首 先 先 把 它 们 的 泰 勒 级 数 先 写 出 来 再 看 看 有 什 么 办 法 . [^{2}] * * 解 答 * * : 记 $ p $ 为 分 子 的 值, $ q $ 为 分 母 的 值, 根 据 $ \sin x $ 的 泰 勒 级 数 展 开 式 [^{3}] $ $ \sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \frac{x^{9}}{9!} + \dots

我们得到 $p π - q π^{3} = \sin π = 0$ . 因此 $p π = q π^{3}$ , 从而所求值为 $π^{2}$ .